[전자기학 w/MATLAB] 맥스웰 방정식 적어놓고 시작하기.

 

 

일단 ED(electrodynamics)에 관한 포스트인만큼, Maxwell eq를 쓰고 시작하는게 맞겠다.

어... 아직 맥스웰 방정식을 안배운 친구들은 위키피디아를 찾아보고 그냥 외우자.

어차피 실험의 결과로 나온 식이기 때문에 외울 수밖에 없다. 그냥 각 항의 의미를 곱씹어 생각하고

문제풀면서 다시 각 항의 의미를 처절하게 곱씹다보면 외워진다.

 

이 글은 학부 2학년 수준의 전자기학을 맥스웰방정식까지 배운 학생 입장에서는 복습이 될 것이고,

이번학기에 갓 electrostatics를 배우기 시작한 학생에게는 좀 도전적인 난이도일 수도 있다

(어렵다는게 아니라, 수식은 고개를 끄덕일수 있는데 뭔 의미인지 도저히 감이 안오는..)

하여간 나도 숙제해야 하므로 아주 자세한 설명을 쓰긴 어려우므로, 궁금한 사람은

Griffiths의 introduction to electrodynamics 7, 10 장(electrodynamics, fields and potentials)를 읽어보자.

8,9장은 10장 내용을 읽는데 필요없으나, 

아직 electrostatics 밖에 안배웠다면 7장 전에 5장(Magnetostatics) 만 읽고 넘어가자,

 

free space에서 maxwell은

 

 

첫 두가지 식은 순서대로 B-field와 E-field 에 대한 식이다.

그 사이에 설명된 내용은 Faraday법칙이다.

E-field가 changing B-field와 묶여있듯

== scalar potential V가 changing vector potential A 와 묶여있음을 기술한다.

 

그렇게 시간이 끼어들면 E와 B, potential의 관점에서는 V와 A가 연립방정식처럼 묶인다.

이제 간단했던 poisson eq도 그리 쉽지 않다.

세번째 식이 A가 끼어들어간 새로운 poisson eq. 이다. 

 

Maxwell Ampere(네번째 식)은 더 험악하게 생겼다. 

근데 우리는 아직 아주아주 powerful한 우리의 자유- 

curl of gradient는 0이므로,, A에 임의의 grad를 더해도 b-field에 영향을 주지 않는다는 사실!

을 쓰지 않았다. 

 

이 새로운 자유도를 div(A)를 특정하는데 쓰면,

Lorenz Gauge (로렌쯔 게이지)에 도달한다.

설명은 아래 그림 참조

 

응 lorenz gauge는 div(A)가 scalar potential의 t-미분이 되도록 우리의 '자유'를 쓴 것이다.

그 결과는 V와 A가 둘다 wave equation형태로 간단하고, 같은 형식으로 나타내어진다(하.. 외우기 너무 쉬워졌다)

유일한 차이는 파동방정식의 source term이 A는 전류밀도, V는 전하밀도라는 점이다.

이제 field를 구하려면 맨 위 그림의 첫 두개 식에 넣고 계산만 영혼없이 하면 된다(새내기도 하는 계산이다)

 

1학년이라면 아직 wave eqn을 모를수도 있다.

공학수학에서 편미분방정식을 배우면 책에 나오는데,

저 식에서 laplacian을 1차원에서의 두번미분으로 바꾸고, 잠시 source term 을 0로 두고

sin(kx-wt) 라는 wave가 (k와 w는 그냥 숫자.. 적분 상수같은거.) 식을 만족하는 것을 확인해보라.

그럼 저게 wave eqn in 3 dimensions이라는 게 설득이 될 것이다.

 

물론 divA 를 저 꼴로 만들어주는 특정한 함수 (A에 더해준 grad의 실체) - 이 함수를 게이지 함수라고 하는데,

게이지 함수는 당연히 미분방정식을 풀어야 구할 수 있다.